... ste cel mai mic corp în care acesta poate fi încorporat. Construcția corpului fracțiilor este modelată pe relația dintre domeniul de integritate al numerelor întregi și corpul numerelor rațio...
 

În algebra abstractă, corpul fracțiilor unui domeniu de integritate[1] [2] [3] este cel mai mic corp în care acesta poate fi încorporat. Construcția corpului fracțiilor este modelată pe relația dintre domeniul de integritate al numerelor întregi și corpul numerelor raționale. Intuitiv, este format din rapoarte între elementele domeniului de integritate.

Corpul fracțiilor din este uneori notat cu sau iar construcția este uneori numită corp de fracții[4] [5] , corpul coeficienților[6] [7] sau corp de coeficienți[8] . Toate aceste denumiri nu trebuie confundate cu factorizarea inelului factor printr-un ideal al său[9] [10] , care este o noțiune diferită. Pentru un inel comutativ care nu este un domeniu de integritate, o construcție asociată este localizarea sau inelul de coeficienți[11] .

Definiție

Fiind dat un domeniu d integritate Se definește relația de echivalență pe lăsînd oricând . Se notează clasa de echivalență a cu fracția . Această noțiune de echivalență este motivată de numerele raționale , care au aceeași proprietate față de inelul întregilor subiacent .

Atunci corpul fracțiilor este mulțimea cu adunarea dată de și înmulțirea dată de

Se poate verifica că aceste operații sunt bine definite și că, pentru orice domeniu de integritate , este într-adevăr un corp. În special pentru , inversul înmulțirii lui este așa cum era de așteptat: .

Încorporarea în aplică fiecare din pe fracția pentru orice diferit de zero (clasa de echivalență este independentă de opțiunea ). Aceasta este modelată pe identitatea .


Corpul fracțiilor lui este caracterizat prin următoarea proprietate universală:

dacă este un omomorfism de inele injectiv al pe corpul , atunci există un omomorfism de inele unic care extinde .

Există o interpretare categorială a acestei construcții. Fie categoria domeniilor de integritate și a aplicațiilor inelului injectiv. Functorul lui la categoria corpurilor care asociază oricare domeniu de integritate cu corpul său al fracțiilor și oricare omomorfism la aplicația indusă pe corpuri (care există prin proprietatea universală) este adjunctul la stânga al subcategoriei categoriei corpurilor pe . Astfel, categoria corpurilor (care este o subcategorie completă) este o subcategorie reflexivă a lui .

Pentru domeniul de identitate nu este necesar un element neutru; această construcție poate fi aplicată oricărui inel nenul comutativ rng fără niciun divizor al lui zero. Încorporarea este dată de pentru orice diferit de zero.[12]

Exemple

  • Corpul fracțiilor inelului întregilor este corpul numerelor raționale, .
  • Fie inelul întregilor gaussieni. Atunci este corpul numerelor raționale gaussiene.
  • Corpul fracțiilor unui corp este izomorf cu corpul însuși.
  • Fiind dat corpul , corpul fracțiilor inelului de polinoame unui nedeterminat (care este un domeniu de integritate), se numește corpul funcțiilor raționale sau corpul fracțiilor raționale[13] [14] [15] și este notat .

Note

  1. Programă Concursul Național Studențesc de Matematică Traian Lalescu, Alba Iulia: Universitatea „1 Decembrie 1918”, 2013, accesat 2021-07-18
  2. Syllabus: Algebră 3, Cluj-Napoca: Universitatea „Babeș-Bolyai”, Facultatea de Matematică și Informatică, 2007, accesat 2021-07-18
  3. Loredana Teleaga, Inele și corpuri: Noțiuni de algebră superioară, Bacău: Ed. Rovimed, 2012, p. 72, accesat 2021-07-18
  4. Brândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, ISBN: 978-606-760-040-7, p. 75
  5. Aurelian Claudiu Volf, Structuri algebrice și aplicații, Iași: Universitatea „Al. I. Cuza”, 2004 (actualizat 2007), p. 6, accesat 2021-07-18
  6. Bușneag, Piciu, Lecții de algebră, p. 244
  7. Ion D. Ion ș.a., Matematică: Manual pentru clasa a XII-a, M2, București: Ed. Sigma, 2007, ISBN: 978-973-649-365-2, p. 82
  8. Horváth, Introducere…, p. 161
  9. Tiberiu Dumitrescu, Algebra 1, București: 2006, p. 70, accesat 2021-07-18
  10. Bușneag, Piciu, Lecții de algebră, p. 173
  11. Horváth, Introducere…, p. 19
  12. en Hungerford, Thomas W. (). Algebra (ed. Revised 3rd). New York: Springer. pp. 142–144. ISBN 3540905189. 
  13. en Ėrnest Borisovich Vinberg (). A course in algebra. p. 131. 
  14. en Stephan Foldes (). Fundamental structures of algebra and discrete mathematicsNecesită înregistrare gratuită. John Wiley & Sons. p. 128. 
  15. en Pierre Antoine Grillet (). Abstract algebra. p. 124. 

Bibliografie





  Go to top  

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under "Creative Commons - Attribution - Sharealike" [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the "GNU Free Documentation License" [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages [3] [4] [5] [6] [7]. Web links: [1] [2]