... lgebră abstractă, o Extensie de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coefi...
 

În algebră abstractă, o Extensie de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.[1] [2] Extensiile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.[3] [4]

De exemplu, extensia de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extensie a corpului numerelor raționale, este transcendent,[5] deoarece corpul extensiilor C/R[6] și Q(2)/Q[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.

Toate extensiile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extensiile finite sunt algebrice.[8] Inversa nu este adevărată: există extensii infinite care sunt algebrice.[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extensie algebrică infinită a numerelor raționale.[10]

Fie E o extensie a corpului K, iar aE. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extensie algebrică a lui K care are un grad finit peste K.[11] Inversa nu este adevărată. Q[π] și Q[e] sunt corpuri, dar π și e sunt transcendente peste Q.[12]

Toate corpurile algebric închise F nu au extensii algebrice proprii, adică nu au extensii algebrice E cu F < E.[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extensie algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.[14]

O extensie L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.

Properietăți

Clasa extensiilor algebrice formează o clasă distinctă de extensii de corp, extensii care au următoarele trei proprietăți:[15]

  1. Dacă E este o extensie algebrică a lui F iar F este o extensie algebrică a lui K, atunci E este o extensie algebrică a lui K.
  2. Dacă E și F sunt extensii algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci produsul tensorial de corpuri⁠(d) EF este o extensie algebrică a lui K.
  3. Dacă E este o extensie algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extensie algebrică a lui K.

Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:

  1. Reuniunea oricărui lanț de extensii algebrice peste un corp de bază este ea însăși o extensie algebrică peste același corp de bază.

Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.

Generalizări

Teoria modelelor⁠(d) generalizează noțiunea de extensie algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extensie algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă⁠(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea

este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extensiei algebrice. Grupul Galois⁠(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.

Note

  1. en Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
  2. en Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
  3. en Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
  4. en Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  5. en Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.
  6. Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  7. en Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.
  8. en See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
  9. en Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
  10. en Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
  11. en Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
  12. en Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
  13. en Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
  14. en Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
  15. en Lang (2002) p.228

Vezi și

Bibliografie

  • en Fraleigh, John B. (), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7 
  • en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0 
  • en Lang, Serge (), „V.1:Algebraic Extensions”, Algebra (ed. Third), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
  • en Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0 
  • en McCarthy, Paul J. () [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001 
  • en Roman, Steven (), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081 
  • en Rotman, Joseph J. (), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687 




  Go to top  

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under "Creative Commons - Attribution - Sharealike" [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the "GNU Free Documentation License" [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages [3] [4] [5] [6] [7]. Web links: [1] [2]