... este numărul punctelor de intersecție ale varietății cu n hiperplane aflate în poziția generală. Pentru o mulțime algebrică⁠(d), punctele de intersecție trebuie numărate cu multiplicitate...
 

În matematică gradul unei varietăți afine⁠(d) sau varietăți proiective de dimensiunea n este numărul punctelor de intersecție ale varietății cu n hiperplane aflate în poziția generală.[lower-alpha 1] Pentru o mulțime algebrică⁠(d), punctele de intersecție trebuie numărate cu multiplicitateaa intersecțiilor, datorită posibilității de existență a intersecțiilor multiple. Pentru varietăți (ireductibile), dacă se iau în considerare multiplicitățile și, în cazul afin, punctele de la infinit, ipoteza poziției generale poate fi înlocuită de condiția mult mai slabă că intersecția varietății are dimensiunea zero (adică constă dintr-un număr finit de puncte). Aceasta este o generalizare a teoremei lui Bézout[lower-alpha 2] .

Gradul nu este o proprietate intrinsecă a varietății deoarece depinde de o încorporare specifică a ei într-un spațiu afin sau spațiu proiectiv⁠(d).

Gradul unei hipersuprafețe este egal cu gradul total al ecuației sale definitorii. O generalizare a teoremei lui Bézout afirmă că, dacă o intersecție a hipersuprafețelor proiective n are codimensiunea n, atunci gradul intersecției este produsul gradelor hipersuprafețelor.

Gradul unei varietăți proiective este evaluarea la 1 a numărătorului seriilor Hilbert⁠(d) ale inelului coordonatelor. Rezultă că, având în vedere ecuațiile varietății, gradul poate fi calculat dintr-o bază Gröbner⁠(d) a idealurilor⁠(d) acestor ecuații.

Definiție

Pentru o varietate V încorporată în a spațiul proiectiv Pn și definită peste un corp algebric închis K, gradul d al V este numărul punctelor de intersecție ale V, definită peste K, cu un subspațiu liniar⁠(d) L în poziția generală, astfel încât

Aici dim(V) este dimensiunea lui V, iar codimensiunea lui L va fi egală cu această dimensiune. Gradul d este o cantitate extrinsecă, nu una intrinsecă, ca cea a lui V. De exemplu, o dreaptă proiectivă are o încorporare de gradul n (esențial unică) în Pn.

Proprietăți

Gradul unei hipersuprafețe F = 0 este același cu gradul total al polinomului omogen F care îl definește (în cazul în care F are factori repetați, în cadrul teoriei intersecției numărarea intersecțiilor de face ținând cont de multiplicitate, ca în teorema lui Bézout).

Alte abordări

Pentru o abordare mai sofisticată, sistemul liniar de divizori⁠(d) care definește încorporarea V poate fi legat de fibratul de drepte⁠(d) sau fasciculul inversabil care definește încorporarea prin spațiul său de secțiuni. Fasciculul de drepte canonic⁠(d) al Pn revine la V. Gradul determină prima clasă Chern⁠(d). Gradul poate fi calculat și în inelul coomologiilor lui Pn, sau inelul Chow⁠(d), cu clasa unui hiperplan intersectând clasa lui V de un număr adecvat de ori.

Extinderea teoremei lui Bézout

Gradul poate fi folosit pentru a generaliza teorema lui Bézout într-un mod așteptat la intersecțiile hipersuprafețelor n în Pn.

Note explicative

  1. În cazul afin, ipoteza poziției generale implică faptul că nu există un punct de intersecție la infinit.
  2. Pentru demonstrație a se vedea polinoame Hilbert: gradul unei varietăți proiective și teorema lui Bézout⁠(d)




  Go to top  

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under "Creative Commons - Attribution - Sharealike" [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the "GNU Free Documentation License" [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages [3] [4] [5] [6] [7]. Web links: [1] [2]