... u) și în care compunerea oricăror două elemente neidentice dintre trei produce al treilea. Poate fi descris ca grupul de simetrie al unui dreptunghi care nu este un pătrat (cele trei elemente nei...
 

În matematică grupul lui Klein este un grup cu patru elemente, în care fiecare element este propriul său invers (compunerea cu sine însuși dă elementul neutru) și în care compunerea oricăror două elemente neidentice dintre trei produce al treilea. Poate fi descris ca grupul de simetrie al unui dreptunghi care nu este un pătrat (cele trei elemente neidentice fiind reflexiile orizontală și verticală și rotația de 180°), sau ca grupul de operații pe câte doi biți al sau exclusiv, sau, mai abstract, ca Z2×Z2, produsul direct⁠(d) al grupului ciclic de ordinul 2 cu el însuși. A fost denumit Vierergruppe (adică patru grupuri) de către Felix Klein în 1884.[1] Se mai numește și grupul Klein, și este adesea simbolizat prin V sau K4.

Grupul Klein, cu patru elemente, este cel mai mic grup care nu este un grup ciclic. Există un singur alt grup de ordinul patru izomorf, grupul ciclic de ordinul 4. Ambele sunt grupuri abeliene. Cel mai mic grup neabelian este grupul simetric de gradul 3⁠(d), care are ordinul 6.

Prezentare

Tabla Cayley a grupului Klein este dată de:

* e a b c
e eabc
a aecb
b bcea
c cbae

Grupul Klein este definit și de prezentare de grup⁠(d)

Toate elemente diferite de elementul neutru din grupul Klein au ordinul 2, astfel oricare două elemente dintre care niciunul nu este elementul neutru pot servi ca generatori în prezentarea de mai sus. Grupul Klein este cel mai mic grup neciclic. Totuși, este un grup abelian și izomorf cu grupul diedral⁠(d) de ordin (cardinalitate) 4, adică D4 (sau D2, folosind convenția geometrică); altul decât grupul de ordinul 2, este singurul grup diedru care este abelian.

Grupul Klein este, de asemenea, izomorf cu suma directă⁠(d) Z2⊕Z2, astfel încât să poată fi reprezentat ca perechi {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} la adăugarea componentelor modulo 2⁠(d) (sau echivalent șirurile de biți {00, 01, 10, 11} din operația XOR pe biți); cu (0,0) elementul neutru al grupului. Grupul Klein este astfel un exemplu al unui grup elementar abelian 2, care se mai numește și grup boolean. Grupul Klein este, de asemenea, grupul generat de diferența simetrică ca operație binară pe submulțimile din familia tuturor submulțimilor⁠(d) unei mulțimi cu două elemente, adică peste un domeniu cu patru elemente, de exemplu ; în acest caz mulțimea vidă fiind elementul neutru al grupului.

O altă construcție numerică a grupului Klein este mulțimea {1, 3, 5, 7}, operația fiind înmulțirea modulo 8. Aici ' a este 3, b este 5 iar c = ab este 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).

Grupul Klein are o reprezentare ca 2×2 matrici reale, operația fiind înmulțirea matricilor:

Geometrie

Grupul de simetrie al rombului este grupul Klein. El poate fi oglindit orizontal (a), vertical (b) sau în ambele feluri (ab) și să rămână neschimbat. Totuși, spre deosebire de pătrat, o rotație cu 90° va schimba forma figurii.

Geometric, în bidimensional, grupul Klein este grupul de simetrie al romburilor și al dreptunghiurilor care nu sunt pătrate, cele patru elemente fiind identitatea, reflexia verticală, reflexia orizontală și o rotație de 180°.

În tridimensional există trei grupuri diferite de simetrie care sunt din punct de vedere algebric grupul Klein:

  • unul cu trei axe de rotație perpendiculare, elementele fiind rotații pe câte 2 axe: D2
  • unul cu o axă de rotație (2 pași) și un plan perpendicular de reflexie: C2h = D1d
  • unul cu axa de rotație (2 pași) într-un plan de reflexie (și deci și într-un plan perpendicular de reflexie): C2v = D1h.


Teoria grafurilor

Cel mai simplu graf simplu conex care admite grupul Klein ca automorfism de grup⁠(d) este graful „diamant” prezentat mai jos. Este, de asemenea, grupul de automorfism al altor grafuri care sunt mai simple în sensul de a avea mai puține componente. Acestea includ graful cu patru vârfuri și o muchie, care rămâne simplu, dar pierde conectivitatea, și graficul cu două vârfuri conectate între ele prin două muchii, care rămâne conectat, dar pierde simplitatea.

Note

  1. Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (în română Prelegeri despre icosaedru și soluția ecuațiilor de gradul cinci)

Lectură suplimentară

  • en M. A. Armstrong (1988) Groups and Symmetry, Springer Verlag, page 53.
  • en W. E. Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra, D.C. Heath & Co., page 20.

legături externe





  Go to top  

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under "Creative Commons - Attribution - Sharealike" [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the "GNU Free Documentation License" [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages [3] [4] [5] [6] [7]. Web links: [1] [2]