... ficat, astfel încât α este o rădăcină a polinomului. Dacă polinomul minim al lui α există, acesta este unic. Coeficientul termenului de cel mai înalt grad din polinom trebuie să fie 1, iar ...
 

În teoria corpurilor, o ramură a matematicii, polinomul minim al unei valori α este, într-o exprimare neformală, polinomul cu cel mai mic grad⁠(d) având coeficienți de un tip specificat, astfel încât α este o rădăcină a polinomului. Dacă polinomul minim al lui α există, acesta este unic. Coeficientul termenului de cel mai înalt grad din polinom trebuie să fie 1, iar coeficienții rămași ar putea fi de tip numere întregi, numere raționale, numere reale sau de alte tipuri.

Formal, un polinom minim este definit în raport cu o extensie de corp E/F, ca element al extensiei de corp E. Polinomul minim al unui element, dacă există, este un membru al F[x], inelul polinoamelor⁠(d), având variabila x și coeficienți în F. Având în vedere un element α din E, fie Jα mulțimea tuturor polinoamelor f(x) în F[x] astfel încât Elementul α se numește rădăcină sau zero al fiecărui polinom din Jα. Mulțimea Jα este un ideal⁠(d) al F[x]. Polinomul zero, ai cărui coeficienți sunt 0, este în fiecare Jα deoarece pentru orice α și i. Acest lucru face ca polinomul zero să fie inutil pentru clasificarea diferitelor valori ale α în tipuri, deci este exceptat. Dacă există polinoame diferite de zero în Jα, atunci α se numește element algebric peste F, și există un polinom monic de cel mai mic grad în Jα. Acesta este polinomul minim al α în raport cu E/F. Este unic și ireductibil peste F. Dacă polinomul zero este singurul membru al Jα, atunci α se numește element transcendent peste F și nu are polinom minim în E/F.

Polinoamele minime se folosesc la construirea și analiza extensiilor de corp. Când α este algebric cu un polinom minim a(x), cel mai mic corp care conține atât F, cât și α este izomorf cu {{ill-wd| Q619436||inelul factor]] F[x]/⟨a(x)⟩, unde ⟨a(x)⟩ este idealul lui F[x] generat de a(x). Polinoamele minime sunt, de asemenea, utilizate pentru a defini elementele conjugate.

Definiție

Fie E/F o extensie de corp, α un element din E, și F[x] inelul polinoamelor în x peste F. Elementul α are un polinom minim atunci când α este algebric peste F, adică când pentru un polinom diferit de zero f(x) în F[x]. Apoi, polinomul minim al α este definit ca polinomul monic de cel mai mic grad dintre toate polinoamele din F[x] având ca rădăcină α.

Unicitate

Fie a(x) polinomul minim al lui α în raport cu E/F. Unicitatea lui a(x) se stabilește luând în considerare omomorfismul de inele⁠(d) subα din F[x] pe E care înlocuiește α cu x, adică subα(f(x)) = f(α). Nucleul subα, Ker(subα), este mulțimea tuturor polinoamelor din F[x] care au ca rădăcină α. Adică, Ker(subα) = Jα de mai sus. Deoarece subα este un omomorfism de inele, Ker(subα) este un ideal al lui F[x]. Deoarece F[x] este un inel principal ori de câte ori F este un corp, există cel puțin un polinom în Ker(subα) care generează Ker(subα). Un astfel de polinom va avea cel mai mic grad dintre toate polinoamele diferite de zero din Ker(subα), iar a(x) este considerat ca fiind polinom monic unic printre acestea.

Unicitatea polinomului monic

Se presupune că p și q sunt polinoame monice în Jα de grad minim n > 0. Deoarece pqJ α și grad(pq) < n rezultă că pq = 0, adică p = q.

Proprietăți

Un polinom minim este ireductibil. Fie E/F o extensie de corp peste F ca mai sus, αE și fF[x] un polinom minim pentru α. Se presupune că f = gh, unde g, hF[x] sunt de grad mai mic decât f. Acum f(α) = 0. Deoarece corpurile sunt, de asemenea, domenii de integritate⁠(d), g(α) = 0 sau h(α) = 0. Acest lucru contrazice minimalitatea gradului lui f. Ca urmare, polinoamele minime sunt ireductibile.

Exemple

Polinomul minim al unei extensii de corp Galois

Fiind dată o extensie de corp Galois polinomul minim al oricărui nu în poate fi calculat prin

dacă nu are stabilizatori în acțiunea Galois. Deoarece este ireductibil, lucru care poate fi dedus privind rădăcinile , este polinomul minim. De reținut că același tip de formulă poate fi găsită prin înlocuirea cu unde este grupul de stabilizare al . De exemplu, dacă atunci stabilizatorul său este , deoarece este polinomul său minim.

Extensii de corp pătratice

Q(2)

Dacă F = Q, E = R, α = 2, polinomul minim pentru α este a(x) = x2 2. Corpul de bază F este important deoarece determină posibilitățile pentru coeficienții lui a(x). De exemplu, dacă se ia F = R, atunci polinomul minim pentru α = 2 este a(x) = x 2.

Q(d)

În general, pentru extensia pătratică liberă de pătrate , calculul polinomului minim al unui element poate fi făcut folosind teoria lui Galois. Atunci

în particular aste implică și . Acestea pot fi folosite pentru a determina cu o serie de relații folosind aritmetica modulară.

Extensii de corp bipătratice

Dacă α = 2 + 3, atunci polinomul minim în Q[x] este a(x) = x4 10x2 + 1 = (x 2 3)(x + 2 3)(x 2 + 3)(x + 2 + 3).

De notat că dacă atunci acțiunea Galois pe stabilizează . Prin urmare, polinomul minim poate fi obținut folosind grupul de coeficienți .

Rădăcini ale unității

Polinoamele minime din Q[x] ale rădăcinilor unității sunt polinoame ciclotomice⁠(d).

Polinoame Swinnerton–Dyer

Polinomul minim din Q[x] al sumei rădăcinilor pătrate ale primelor n numere prime este construit în mod analog și se numește polinom Swinnerton–Dyer.

Bibliografie





  Go to top  

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under "Creative Commons - Attribution - Sharealike" [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the "GNU Free Documentation License" [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages [3] [4] [5] [6] [7]. Web links: [1] [2]