... este conex și fiecare cale dintre două puncte poate fi transformată continuu în orice altă cale, conservând în același timp cele două puncte de capăt în cauză. Grupul fundamental al unui...
 

În topologie un spațiu topologic se numește simplu conex[1] [2] (sau 1-conex[2] ) dacă este conex și fiecare cale dintre două puncte poate fi transformată continuu (intuitiv pentru spații încorporate, rămânând în spațiu) în orice altă cale, conservând în același timp cele două puncte de capăt în cauză. Grupul fundamental al unui spațiu topologic este un indicator al eșecului ca spațiul să fie unul simplu conex: un spațiu topologic conex este simplu conex dacă și numai dacă grupul său fundamental este trivial.

Definiție și formulări echivalente

Această figură reprezintă o mulțime care nu este simplu conexă deoarece orice buclă care cuprinde una sau mai multe găuri nu poate fi contractată într-un punct fără a ieși din regiune

Se spune despre un spațiu topologic X că este simplu conex dacă este conex și orice buclă din X definită de f : S1X poate fi contractată într-un punct: există o aplicație continuă F : D2X astfel încât F restricționată la S1 este f. Aici, S1 și D2 sunt cercul unitate, respectiv discul unitate închis din planul euclidian.

O formulare echivalentă este următoarea: X este simplu conex dacă și numai dacă este conex și întotdeauna p : [0,1] → X și q : [0,1] → X sunt două căi (adică aplicații continue) cu aceleași puncte de început și sfârșit (p(0) = q(0) și p(1) = q(1)), atunci p poate fi deformată continuu în q ținând ambele puncte de capăt fixe. Explicit, există o omotopie astfel încât și .

Un spațiu topologic X este simplu conex dacă și numai dacă X este conex și grupul fundamental al lui X în fiecare punct este trivial, adică constă doar din elementul neutru. Similar, X este simplu conex dacă și numai dacă pentru toate punctele setul de morfisme din grupoidul fundamental al X are un singur element.[3]

În analiza complexă: o submulțime deschisă este simplu conexă dacă și numai dacă ambele X și complementul său în sfera Riemann sunt conexe. Mulțimea numerelor complexe cu o parte imaginară strict mai mare ca zero și mai mică de unu, oferă un exemplu frumos de submulțime conexă deschisă nemărginită a planului, al cărei complement nu este conex. Totuși, este simplu conexă. Ar putea fi, de asemenea, demn de subliniat că o relaxare a cerinței ca X să fie conexă duce la o explorare interesantă a submulțimilor deschise ale planului cu complement extins conex. De exemplu, o mulțime deschisă (nu neapărat conexă) are un complement extins conex exact atunci când fiecare dintre componentele sale conexe sunt simplu conexe.

Discuție informală

O sferă este simplu conexă deoarce orice buclă poate fi contractată (pe suprafață) într-un punct

Informal, un obiect din spațiul comun este simplu conex dacă este format dintr-o singură bucată și nu are „găuri” care trec prin el. De exemplu, o gogoașă sau o ceașcă de cafea (cu toartă) nu sunt simplu conexe, în timp ce o minge de cauciuc goală pe dinăuntru este simplu conexă. În două dimensiuni, un cerc (înțeles ca linia care îl reprezintă) nu este simplu conex, în timp ce un disc sau o linie sunt. Spațiile care sunt conexe, dar nu simplu conexe sunt numite multiplu conexe[4] .

Definiția exclude numai găurile în formă de toartă. O sferă (sau, echivalent, o minge de cauciuc cu centrul gol) este simplu conexă, deoarece orice buclă de pe suprafața unei sfere se poate contracta într-un punct, chiar dacă are o "gaură" în centrul gol. Condiția mai puternică, ca obiectul să nu aibă găuri în orice dimensiune, se numește contractilitate[5] (sau contractibilitate[6] ).

Exemple

Un tor nu este o suprafață simplu conexă. Niciuna dintre cele două bucle colorate prezentate aici nu poate fi contractată într-un punct fără a părăsi suprafața. De asemenea, un tor plin nu este simplu conex, deoarece bucla mov nu se poate contracta într-un punct fără a părăsi corpul.
  • Spațiul euclidian R2 este simplu conex, dar R2 fără originea sa, (0,0), nu este. Dacă n > 2, atunci ambele Rn și Rn fără origine sunt simplu conexe.

Proprietăți

O suprafață (varietate topologică bidimensională) este simplu conexă dacă și numai dacă este conexă iar genul (numărul de „găuri” al suprafeței) este 0 .

O acoperire universală a oricărui spațiu (adecvat) X este un spațiu simplu conex, care se aplică pe X printr-un spațiu de acoperire.

Dacă X și Y sunt echivalente homotopic și X este simplu conex, atunci la fel este și Y.

Imaginea unei mulțimi simplu conexe printr-o funcție continuă nu trebuie să fie simplu conexă. De exemplu planul complex printr-o funcție exponențială: imaginea este C  {0}, care nu este simplu conexă.

Noțiunea de simplu conex este importantă în analiza complexă din cauza următoarelor fapte:

Noțiune de „simplu conex” este esențială în conjectura Poincaré.

Note

  1. Răileanu, Dicționar român–englez…, p. 299
  2. 1 2 en „simply connected space”. ncatlab.org. Accesat în . 
  3. en Ronald, Brown (iunie 2006). Topology and Groupoids. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429. 
  4. Răileanu, Dicționar român–englez…, p. 206
  5. contractilitate la DEX online
  6. contractibilitate la DEX online

Bibliografie

  • en Spanier, Edwin (decembrie 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5. 
  • en Conway, John (). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3. 
  • en Bourbaki, Nicolas (). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4. 
  • en Gamelin, Theodore (ianuarie 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9. 
  • en Joshi, Kapli (august 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5. 
  • Brândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, ISBN: 978-606-760-040-7




  Go to top  

This article is issued from web site Wikipedia. The original article may be a bit shortened or modified. Some links may have been modified. The text is licensed under "Creative Commons - Attribution - Sharealike" [1] and some of the text can also be licensed under the terms of the "GNU Free Documentation License" [2]. Additional terms may apply for the media files. By using this site, you agree to our Legal pages [3] [4] [5] [6] [7]. Web links: [1] [2]